3 cara memfaktorkan persamaan algebra

2023 Pengarang: Jeremiah Simon | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-05-21 07:33

Dalam matematik, faktor sama dengan mencari nombor atau ungkapan yang pendaraban memberikan nombor atau persamaan tertentu. Pemfaktoran adalah operasi berguna yang harus anda ketahui agar dapat menyelesaikan masalah asas algebra. Keupayaan untuk membuat faktor dengan baik menjadi hampir mustahak ketika anda menghadapi persamaan kuadratik dan bentuk polinomial lain. Pemfaktoran boleh digunakan untuk mempermudah ungkapan algebra untuk menjadikan penyelesaiannya lebih mudah. Dengan memfaktorkan, anda dapat dengan cepat menghilangkan ungkapan tertentu.

Langkah-langkah

Kaedah 1 dari 3: Nombor faktor dan ungkapan algebra

Langkah 1. Fahami apakah faktorisasi apabila digunakan pada nombor mudah

Pemfaktoran secara teori terdengar mudah, tetapi mempraktikkannya mungkin sukar terutama jika anda menghadapi persamaan yang kompleks. Untuk melakukan ini, lebih mudah untuk mendekati konsep pemfaktoran dengan memulakan dengan nombor sederhana, kemudian beralih ke persamaan sederhana sebelum mencuba operasi yang lebih rumit. Faktor nombor tertentu adalah nombor yang, apabila dikalikan bersama, memberikan nombor yang dimaksudkan. Sebagai contoh, faktor 12 adalah 1; 12; 2; 6; 3 dan 4, kerana 1 × 12; 2 × 6 dan 3 × 4 semuanya 12.

• Inilah cara lain untuk memikirkannya: faktor nombor tertentu adalah nombor yang nombornya boleh dibahagi.

• Bolehkah anda mencari semua faktor nombor 60? Kami menggunakan nombor 60 untuk beberapa perkara (minit dalam satu jam, detik dalam satu minit, dll.) Kerana ia boleh dibahagikan dengan beberapa nombor.

  Faktor 60 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60

Langkah 2. Ketahuilah bahawa ungkapan pemboleh ubah juga boleh difaktorkan

Seperti nombor sederhana, ungkapan berubah dengan pekali angka juga boleh difaktorkan. Mengetahui bagaimana memfaktorkan pemboleh ubah berguna agar dapat mempermudah persamaan yang mengandungi pemboleh ubah.

• Sebagai contoh, pemboleh ubah 12x boleh ditulis sebagai produk faktor 12 dan x. Anda boleh menulis semula 12x sebagai 3 (4x), 2 (6x), dan lain-lain, menggunakan faktor 12 yang paling sesuai dalam operasi anda.

  Kita juga boleh melangkah lebih jauh dengan memfaktorkan ungkapan 12x "beberapa kali". Dengan kata lain, kita tidak perlu berhenti pada 3 (4x) atau 2 (6x) - Kita boleh memfaktorkan 4x dan 6x untuk memiliki 3 (2 (2x) dan 2 (3 (2x) masing-masing. Kedua-dua ungkapan ini jelas sama

Langkah 3. Gunakan sifat pendaraban pendaraban ke faktor persamaan algebra

Dengan menggunakan pengetahuan anda tentang pemfaktoran nombor mudah serta pemboleh ubah dengan pekali, anda dapat mempermudah persamaan algebra sederhana dengan mencari faktor yang mempunyai persamaan antara nombor dan pemboleh ubah dalam persamaan. Biasanya, untuk membuat persamaan semudah mungkin, kita berusaha mencari faktor sepunya yang paling besar. Proses penyederhanaan ini dapat dilakukan berkat sifat pendistribusian pendaraban yang menyatakan bahawa: untuk sebarang nombor a, b dan c, a (b + c) = ab + ac.

• Mari cuba masalah sebagai contoh. Untuk memfaktorkan persamaan algebra 12x + 6, pertama mari kita cuba mencari faktor sepunya terbesar 12x dan 6. 6 adalah nombor terbesar yang akhirnya membahagi 12x dan 6, maka kita dapat mempermudah persamaan, yang memberikan 6 (2x + 1).
• Proses ini juga berlaku untuk persamaan dengan nombor dan pecahan negatif. Contohnya, ungkapan x / 2 + 4 dapat dipermudah menjadi 1/2 (x + 8) dan -7x + -21 boleh difaktorkan menjadi -7 (x + 3).

Kaedah 2 dari 3: Persamaan kuadratik faktor

Langkah 1. Pastikan persamaan dalam bentuk kuadratik (kapak² + bx + c = 0).

Persamaan kuadratik dalam bentuk kapak² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c menjadi pemalar numerik selain 0 (perhatikan bahawa a boleh menjadi 1 atau -1). Sekiranya anda mempunyai persamaan yang mengandungi pemboleh ubah (x) yang mempunyai satu atau lebih istilah x hingga daya kedua, adalah mungkin untuk menyesuaikan persamaan menggunakan operasi algebra asas untuk mendapatkan 0 di satu sisi tanda persamaan dan kapak yang sama², dan lain-lain. di sebelah sana.

• Contohnya, pertimbangkan persamaan algebra 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 yang boleh dipermudahkan menjadi x² + 6x + 9 = 0, yang dalam bentuk kuadratik.
• Persamaan dengan x dinaikkan ke nombor yang lebih besar daripada x³, x⁴, dan lain-lain. bukan persamaan kuadratik. Mereka adalah persamaan darjah ketiga, persamaan darjah keempat dan seterusnya, kecuali jika menyederhanakan persamaan untuk mendapatkan istilah x dinaikkan ke kekuatan 2.

Langkah 2. Dalam persamaan kuadratik di mana a = 1, anda boleh memfaktorkannya menjadi (x + d) (x + e), di mana d × e = c dan d + e = b

Sekiranya persamaan kuadratik anda dalam bentuk x² + bx + c = 0 (dengan kata lain, jika pekali istilah x² = 1), ada kemungkinan (tetapi tidak dijamin) jalan pintas sederhana dapat digunakan untuk memfaktorkan persamaan. Cari dua nombor yang, didarabkan di antara mereka, berikan c dan yang jumlahnya memberikan b. Setelah anda menemui dua nombor d dan e ini, letakkan dalam ungkapan berikut: (x + d) (x + e). Kedua istilah ini, apabila digandakan bersama memberikan persamaan, dengan kata lain, ini adalah faktor persamaan anda.

• Contohnya, pertimbangkan persamaan kuadratik x² + 5x + 6 = 0. 3 dan 2 dikalikan bersama memberikan 6 dan ditambahkan bersama memberikan 5, jadi kita dapat mempermudah persamaan ini menjadi (x + 3) (x + 2).

• Terdapat variasi kecil:

  • Sekiranya persamaan kuadratik dalam bentuk x²-bx + c, jawapan anda akan dalam bentuk: (x - _) (x - _).
  • Ia dalam bentuk x²+ bx + c, jawapan anda akan dalam bentuk: (x + _) (x + _).
  • Sekiranya dalam bentuk x²-bx-c, jawapan anda akan dalam bentuk (x + _) (x - _).
• Catatan: Nombor yang diwakili oleh bar (_) dalam kurungan boleh menjadi pecahan dan juga perpuluhan. Contohnya, persamaan x² + (21/2) x + 5 = 0 diperhitungkan menjadi (x + 10) (x + 1/2).

Langkah 3. Sekiranya boleh, faktorkan dengan pengenalan diri

Percaya atau tidak, untuk persamaan kuadratik yang tidak rumit, salah satu cara pemfaktoran yang diterima adalah dengan melihat masalahnya dan kemudian mempertimbangkan kemungkinan jawapan sehingga anda menemui jawapan yang betul. Sekiranya persamaan dalam bentuk kapak²+ bx + c dan a> 1, jawapan faktor anda akan dalam bentuk (dx +/- _) (ex +/- _), dengan pemalar d dan e selain 0 yang pendaraban akan memberikan a. d atau e (atau kedua-duanya) boleh sama dengan 1, walaupun ini tidak begitu diperlukan. Sekiranya kedua-dua pemalar adalah 1, anda mungkin menggunakan kaedah pintasan yang dinyatakan di atas.

• Pertimbangkan contoh ini. 3x² - 8x + 4 pada pandangan pertama kelihatan sukar. Namun, setelah kita menyedari bahawa 3 hanya mempunyai dua faktor (3 dan 1), ia akan menjadi lebih mudah kerana kita tahu jawapan kita harus dalam bentuk (3x +/- _) (x +/- _)). Dalam kes ini, meletakkan tanda "-2" di tempat bar di kedua kurungan akan memberi kita jawapan yang betul. -2 × 3x = -6x dan-2 × x = -2x. Jumlah -6x dan -2x memberikan -8x. -2 × -2 = 4, jadi kita dapat melihat bahawa istilah pemfaktoran dalam kurungan berlipat ganda untuk memberikan persamaan asal.

Langkah 4. Selesaikan masalah dengan menyelesaikan petak

Dalam beberapa kes, persamaan kuadratik dapat diselesaikan dengan cepat dan mudah menggunakan identiti algebra khas. Sebarang persamaan kuadratik dalam bentuk x² + 2xh + j² = (x + j)². Jadi jika dalam persamaan anda, nilai b adalah dua kali punca kuasa dua dari nilai c, persamaan anda boleh diperhitungkan menjadi (x + (sqrt (c)))².

• Contohnya, dalam persamaan x² + 6x + 9, kita tahu bahawa 3² = 9 dan 3 × 2 = 6. Oleh itu, kita tahu bahawa bentuk faktor persamaan ini adalah (x + 3) (x + 3) atau (x + 3)².

Langkah 5. Gunakan faktor untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Tidak kira bagaimana anda memfaktorkan persamaan kuadratik, setelah dipfaktorkan, anda boleh menemui kemungkinan jawapan untuk nilai x dengan menetapkan keseluruhan ungkapan sama dengan 0 dan menyelesaikan. Oleh kerana anda mencari nilai x yang membatalkan persamaan, nilai x yang membatalkan salah satu faktor dalam persamaan itu mungkin merupakan jawapan untuk persamaan kuadratik anda.

• Mari kembali ke persamaan x² + 5x + 6 = 0. Pemfaktorannya memberikan (x + 3) (x + 2) = 0. Sekiranya salah satu faktornya sama dengan 0, keseluruhan persamaan sama dengan 0, maka kemungkinan nilai x adalah nombor yang membatalkan (x + 3) dan (x + 2). Nombor ini masing-masing -3 dan -2.

Langkah 6. Periksa jawapan anda - ada yang pelik

Sekiranya anda menjumpai kemungkinan jawapan untuk x, masukkan kembali ke persamaan asal untuk melihat apakah betul. Kadang kala jawapan yang anda dapati tidak membatalkan persamaan asal apabila anda memasukkannya semula dalam persamaan asal. Kami memanggil tanggapan ini "pelik" dan tidak menganggapnya.

• Letakkan -2 dan -3 dalam x² + 5x + 6 = 0. Pertama, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Ini betul, jadi -2 adalah jawapan yang sah.

• Sekarang mari kita cuba -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Ini juga betul, jadi -3 juga merupakan jawapan yang sah.

Kaedah 3 dari 3: Faktor bentuk persamaan lain

Langkah 1. Sekiranya persamaan dalam bentuk a²-b², faktorkannya menjadi (a + b) (a-b).

Pemfaktoran persamaan bivariat berbeza dengan persamaan kuadratik asas. Untuk sebarang persamaan a²-b² dengan a dan b berbeza dari 0, pemfaktoran persamaan memberikan (a + b) (a-b).

• Contohnya, persamaan 9x² - 4y² = (9x + 4y) (9x - 4y).

Langkah 2. Sekiranya persamaan dalam bentuk a²+ 2ab + b², masukkan ke dalam (a + b)².

Perhatikan bahawa jika trinomial dalam bentuk a²-2ab + b², bentuk pemfaktoran sedikit berbeza: (a-b)².

• Persamaan 2x² + 16xy + 4y² boleh ditulis semula sebagai 2x² + (2 × 2 × 4) xy + 4y². Ini dalam bentuk yang betul, jadi kami dengan yakin dapat menyatakan bahawa memfaktorkan persamaan yang diberikan (2x + 4y)²

Langkah 3. Sekiranya persamaan dalam bentuk a³-b³, faktorkannya menjadi (a-b) (a²+ ab + b²).

Akhirnya, harus disebutkan bahawa persamaan darjah ketiga dan darjah yang lebih tinggi dapat difaktorkan walaupun proses pemfaktoran pada tahap itu menjadi lebih rumit.

• Contohnya, pemfaktoran 2x² - 3y² memberi (2x - 3y) (2x² + ((2x) (3y)) + 3y²)

Nasihat

• Ke²-b² boleh difaktorkan, a²+ b² tidak.
• Perlu diingat bagaimana memfaktorkan pemalar, ini mungkin dapat membantu.
• Hati-hati pecahan dalam proses pemfaktoran. Bekerja dengan pecahan dengan betul.
• Sekiranya anda mempunyai trinomial bentuk x²+ bx + (b / 2)², bentuk pemfaktoran adalah (x + (b / 2))².
• Ingat bahawa a0 = 0 (0 adalah unsur penyerap untuk pendaraban).